Алан Багаев родился 7 апреля 1991 года.

С 2008 года играл в любительской футбольной лиге за «молодежку» «Спартака».

С 2009 по 2010 годы был в аренде в пермском «Амкаре».

Дебютировал в ПФЛ за «ФАЮР Беслан» в 2011 году.

Позже выступал за молодежные команды «Алании», «Ростова» и «Урала».

Провел год в грузинском чемпионате, играя за «Дилу» и «Шукуру».

В 2016 году вернулся в ФНЛ в состав «Мордовии», затем перешел в «Анжи», но через некоторое время снова оказался в «Мордовии».

В составе «Алании» с лета 2019 года.

Багаев сыграл в 27 матчах прошлого сезона и отметился четырьмя голами.